Численные методы математической физики.Составление и отладка программ по методам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Факультет автоматизированных и информационных систем

Кафедра «Информационные технологии»

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3

по дисциплине «Численные методы математической физики»

на тему: «Составление и отладка программ по методам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)»

Выполнил: студент гр. ИТП-21

Жмайлик А.В.

Принял: преподаватель

Стародубцев Е.Г.

Гомель 2018

Цель работы: научиться разрабатывать алгоритмы численных методов и программное обеспечение для решения СЛАУ.

ЗАДАНИЕ

Разработать алгоритмы и написать программы, реализующие следующие методы решения СЛАУ:

1. метод Гаусса;

2. метод LU-разложения (в двух модификациях: 1) с единицами на главной диагонали матрицы U; 2) с единицами на главной диагонали матрицы L);

3. метод прогонки;

4. метод простой итерации;

5. метод Гаусса-Зейделя.

Варианты заданий

3

 

 

 

Задание 1. Метод Гаусса

Первый этап решения системы уравнений по методу Гаусса, называемый прямым ходом метода Гаусса, заключается в приведении расширенной матрицы к треугольному виду. Это означает, что все элементы матрицы ниже главной диагонали должны быть равны нулю

Для формирования первого столбца матрицы необходимо из каждой строки (начиная со второй) вычесть первую, умноженную на некоторое число Мi.

Коэффициент М для i-й строки выбирается из условия

, и равен

Очевидно, что если повторить описанный выше алгоритм для следующих столбцов матрицы, причем начинать преобразовывать второй столбец с третьего элемента, третий столбец — с четвертого и т.д.

В результате выполнения прямого хода метода Гаусса матрица преобразуется в матрицу, а система уравнений будет иметь следующий вид:

Решение системы называют обратным ходом метода Гаусса. Формула для вычисления i-го значения x будет иметь вид:

Код программы:

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <windows.h>

using namespace std;

void sysout(double **a, double *y, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << a[i][j] << "*x" << j;

if (j < n - 1)

cout << " + ";

}

cout << " = " << y[i] << endl;

}

return;

}

double * gauss(double **a, double *y, int n)

{

double *x, max;

int k, index;

const double eps = 0.00001;

x = new double[n];

k = 0;

while (k < n)

{

max = abs(a[k][k]);

index = k;

for (int i = k + 1; i < n; i++)

{

if (abs(a[i][k]) > max)

{

max = abs(a[i][k]);

index = i;

}

}

if (max < eps)

{

cout << "Решение получить невозможно из-за нулевого столбца ";

cout << index << " матрицы A" << endl;

return 0;

}

for (int j = 0; j < n; j++)

{

double temp = a[k][j];

a[k][j] = a[index][j];

a[index][j] = temp;

}

double temp = y[k];

y[k] = y[index];

y[index] = temp;

for (int i = k; i < n; i++)

{

double temp = a[i][k];

if (abs(temp) < eps) continue;

for (int j = 0; j < n; j++)

a[i][j] = a[i][j] / temp;

y[i] = y[i] / temp;

if (i == k) continue;

for (int j = 0; j < n; j++)

a[i][j] = a[i][j] - a[k][j];

y[i] = y[i] - y[k];

}

k++;

}

for (k = n - 1; k >= 0; k--)

{

x[k] = y[k];

for (int i = 0; i < k; i++)

y[i] = y[i] - a[i][k] * x[k];

}

return x;

}

int main()

{

double **a, *y, *x;

int n;

system("chcp 1251");

system("cls");

cout << "Введите кол-во уравнений: ";

cin >> n;

a = new double*[n];

y = new double[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

a[i] = new double[n];

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << "a[" << i << "][" << j << "]= ";

cin >> a[i][j];

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

cout << "y[" << i << "]= ";

cin >> y[i];

}

sysout(a, y, n);

x = gauss(a, y, n);

for (int i = 0; i < n; i++)

cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << endl;

cin.get(); cin.get();

return 0;

}

Результат выполнения:

Задание 2. Метод LU-разложения

, где A={} – квадратная матрица порядка n.

Следовательно, вектор x можно вычислить из системы

причем она легко решается, так как матрицы L и U – треугольные.

Метод LU разложения с единицами на главной диагонали матрицы L. Представим матрицу в виде произведения треугольных матриц

Таким образом, решение системы с квадратной матрицей коэффициентов сводится к решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов:

Код программы:

#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <vector>

#include <math.h>

#include <windows.h>

using namespace std;

void LU(vector <vector <double> > A, vector <vector <double> > &L, vector <vector <double> > &U, int n)

{

U = A;

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = i; j < n; j++)

L[j][i] = U[j][i] / U[i][i];

for (int k = 1; k < n; k++)

{

for (int i = k - 1; i < n; i++)

for (int j = i; j < n; j++)

L[j][i] = U[j][i] / U[i][i];

for (int i = k; i < n; i++)

for (int j = k - 1; j < n; j++)

U[i][j] = U[i][j] - L[i][k - 1] * U[k - 1][j];

}

}

void proisv(vector <vector <double> > A, vector <vector <double> > B,

vector <vector <double> > &R, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

for (int j = 0; j < n; j++)

for (int k = 0; k < n; k++)

R[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

}

void show(vector <vector <double> > A, int n)

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cout << "\t" << A[i][j] << "\t";

}

cout << endl;

}

}

int main()

{

int n = 3,koef;

vector <vector <double> > A(4), L(n), U(n), R(n);

 

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

cin >> koef;

A[i].push_back(koef);

L[i].push_back(0);

U[i].push_back(0);

R[i].push_back(0);

}

}

LU(A, L, U, n);

cout << "Fisrt matrix" << endl;

show(A, n);

cout << "U matrix" << endl;

show(U, n);

cout << "L matrix" << endl;

show(L, n);

proisv(L, U, R, n);

cout << "L*U matrix" << endl;

show(R, n);

return 0;

}

Задание 3. Метод прогонки

где i=1, 2, n, = 0, = 0. Такие уравнения называют трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Для решения систем существует специальный метод, называемый методом прогонки. Заключается он в следующем. Предположим, что существуют такие наборы чисел , для которых

Необходимо выяснить сходимости этого метода.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

#include "pch.h"

#include <iostream>

#include "conio.h"

#include "math.h"

#include "iostream"

using namespace std;

int i, n, k, n1;

double z;

double A[50][50];

double B[50];

double eps[50];

double X[50];

double et[50];

int main()

{

cout << "Vvedite razmernost matrici: ";

cin >> n1;

cout << "Vvedite " << n1 << " strok po " << n1 << " 4isel:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

for (k = 0; k < n1; k++)

cin >> A[i][k];

cout << "Matrix A:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

{

for (k = 0; k < n1; k++)

cout << A[i][k] << "\t ";

cout << endl;

}

cout << "Vvedite " << n1 << " 4isel:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cin >> B[i];

cout << "Matrix B:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cout << B[i] << endl;

n = n1 - 1;

eps[0] = -A[0][1] / A[0][0];

et[0] = B[0] / A[0][0];

for (i = 1; i < n; i++)

{

z = A[i][i] + A[i][i - 1] * eps[i - 1];

eps[i] = -A[i][i + 1] / z;

et[i] = (B[i] - A[i][i - 1] * et[i - 1]) / z;

}

X[n] = (B[n] - A[n][n - 1] * et[n - 1]) / (A[n][n] + A[n][n - 1] * eps[n - 1]);

for (i = n - 1; i >= 0; i--)

X[i] = eps[i] * X[i + 1] + et[i];

cout << "Matrix X:" << endl;

for (i = 0; i < n1; i++)

cout << X[i] << endl;

_getch();

return 0;

}

Задание 4. Метод итерации

или в развернутом виде:

Алгоритм метода простой итерации заключается в следующем:

  1. Проверка условий (2.36), если они не выполняются, то работа алгоритма завершена, иначе переходим к п.2.
  2. Формирование матрицы α и массива β по формулам (2.31).
  3. Формирование начального приближения по (2.33).
  4. Расчет нового приближения по (2.34).
  5. Если условие (2.35) выполняется и максимальная ошибка вычислений меньше заданного числа ε, то решение найдено, иначе переходим к п.4.

Необходимо выяснить являются ли преобладающими диагональные элементы. Это очень важный шаг, проверяется условие сходимости этого метода. Нужно чтобы оно выполнялось. Для нашей системы данное условие не выполняется.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <locale>

#include <cmath>

#include <iomanip>

#include <iostream>

using namespace std;

double f1(double x1, double x2, double x3);

double f2(double x1, double x2, double x3);

double f3(double x1, double x2, double x3);

double g1(double x1, double x2, double x3);

double g2(double x1, double x2, double x3);

double g3(double x1, double x2, double x3);

double shag = 0.0005; //Шаг приращения

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "Russian");

cout << "\tВведите начальное приближение, свободные члены\n";

double x1; cout << "x1 = "; cin >> x1;

double x2; cout << "x2 = "; cin >> x2;

double x3; cout << "x3 = "; cin >> x3;

double er; cout << "Введите погрешность = "; cin >> er;

 

for

(

double it = 0;

er < fabs(f1(x1, x2, x3)) || er < fabs(f2(x1, x2, x3)) || er < fabs(f3(x1, x2, x3));

it = it + 1

)

{

cout << "Итерация # " << setprecision(0) << it << endl;

cout << "x1 " << setprecision(0) << (x1 = g1(x1, x2, x3)) << endl;

cout << "x2 " << setprecision(0) << (x2 = g2(x1, x2, x3)) << endl;

cout << "x3 " << setprecision(0) << (x3 = g3(x1, x2, x3)) << endl;

}

cout << "f1(x1, x2, x3) = " << f1(x1, x2, x3) << endl;

cout << "f2(x1, x2, x3) = " << f2(x1, x2, x3) << endl;

cout << "f3(x1, x2, x3) = " << f3(x1, x2, x3) << endl;

system("pause");

return 0;

}

double f1(double x1, double x2, double x3)

{

return 3 * x1 - x2 + x3 - 12;

}

double f2(double x1, double x2, double x3)

{

return -1*x1 + 3*x2 + 0 * x3 + 21;

}

double f3(double x1, double x2, double x3)

{

return x1 + 2 * x2 +4*x3 - 6;

}

double g1(double x1, double x2, double x3)

{

return x1 - shag *f1(x1, x2, x3);

}

double g2(double x1, double x2, double x3)

{

return x2 - shag *f2(x1, x2, x3);

}

double g3(double x1, double x2, double x3)

{

return x3 - shag *f3(x1, x2, x3);

}

Задание 5. Метод Зейделя

Выполним следующие преобразования:

Пусть:

Тогда система:

эквивалентна системе и обладает следующими свойствами:

Необходимо выяснить сходимости этого метода.

Необходимо преобразовать матрицу, чтобы данное условие выполнялось:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. 5 1 2 3

Выполним преобразование С = С-A:

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2  4 6
  3. 2 2 1 -9

Далее выполним еще раз С= С-А

  1. 3 -1 1 12
  2. 1 2 4 6
  3. -1 3 0 -21

Поменяем местами B и C

  1. 3 -1 1 12
  2. -1 3 0 -21
  3. 1 2 4 6

Код программы:

#include "pch.h"

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

#include <windows.h>

using namespace std;

class Matr

{

private:

int size;

double **mas;

double *mas1;

public:

Matr()

{

size = 0;

mas = NULL;

mas1 = NULL;

}

Matr(int l)

{

size = l;

mas = new double*[l];

for (int i = 0; i < l; i++)

mas[i] = new double[l];

mas1 = new double[l];

}

void Add()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

for (int j = 0; j < size; j++)

cin >> mas[i][j];

for (int i = 0; i < size; i++)

{

cin >> mas1[i];

}

}

void Print()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

{

for (int j = 0; j < size; j++)

{

cout << setw(4) << mas[i][j] << " ";

}

cout << " " << mas1[i] << endl;

}

}

void Preob()

{

double temp = 0;

for (int k = 0; k < size; k++)

{

for (int i = 0; i < size; i++)

{

temp = mas[i][i] * (-1);

mas1[i] /= temp;

for (int j = 0; j <= size; j++)

{

mas[i][j] /= temp;

}

}

}

for (int i = 0; i < size; i++)

{

mas1[i] *= -1;

for (int j = 0; j < size; j++)

mas[i][i] = 0;

}

}

double Pogr(double **mas, double epsilon)

{

double eps = 0; double sum = 0, max = 0;

double norm1 = 0, norm2 = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

for (int j = 0; j < i; j++)

{

sum += fabs(mas[i][j]);

if (sum > norm1) norm1 = sum;

}

sum = 0;

for (int j = i + 1; j < size; j++)

{

sum += fabs(mas[i][j]);

if (sum > norm2) norm2 = sum;

}

sum = 0;

}

if (norm1 >= 1 || norm2 >= 1)

{

cerr << "Норма матрицы больше или равна 1,т.е. не имеет решения" << endl;

Sleep(4000);

exit(1);

}

eps = ((1 - norm1) / norm2)*epsilon;

return eps;

}

void Itera(double epsilon)

{

double *x = new double[size];

double *p = new double[size];

double *a = new double[size];

double *E = new double[size];

double per = Pogr(mas, epsilon), max = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

x[i] = mas1[i];

p[i] = 0;

}

double var = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

var = 0;

for (int k = 0; k < size; k++)

var = mas[i][k] * mas1[k];

x[i] = var;

}

for (int i = 0; i < size; i++)

p[i] = x[i] + mas1[i];

int counter = 0;

do

{

counter++;

cout << "Итерация № " << counter << endl << endl;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

var = 0;

for (int j = 0; j < i; j++)

var += (mas[i][j] * p[j]);

for (int j = i + 1; j < size; j++)

var += (mas[i][j] * x[j]);

a[i] = var;

x[i] = mas1[i] + a[i];

}

max = 0;

for (int i = 0; i < size; i++)

{

E[i] = fabs(x[i] - p[i]);

if (max < E[i]) max = E[i];

p[i] = x[i];

cout << "x" << i + 1 << "=" << x[i] << " " << endl;

}

cout << endl;

cout << "max =" << max << endl << endl;

} while (max > per);

cout << endl << "Результат: \n\n";

for (int i = 0; i < size; i++)

cout << "x" << i + 1 << "=" << x[i] << " " << endl;

delete[] x;

delete[] p;

delete[] E;

delete[] a;

}

~Matr()

{

for (int i = 0; i < size; i++)

 

delete mas[i];

delete mas;

}

};

int main()

{

setlocale(LC_ALL, "rus");

int n; double epsi;

cout << "Введите количество уравнений: ";

cin >> n;

cout << "Введите желаемую точность: ";

cin >> epsi;

Matr a(n);

cout << "Введите матрицу коэффициентов, потом столбец свободных членов:" << endl;

a.Add();

cout << endl << "Расширенная матрица:" << endl;

a.Print();

a.Preob();

cout << endl << "Преображенная матрица" << endl;

a.Print();

cout << endl;

a.Itera(epsi);

cout << endl;

system("pause");

return 0;

}

Результат выполнения программы:

Вывод: научились разрабатывать алгоритмы численных методов и программное обеспечение для решения СЛАУ.

Добавить комментарий